Concepto de Derivacion.

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral,


Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),




ð Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ðð→ R,

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

ð Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ðð→ R,

(f · g) (x) = f(x) · g(x)




siempre que g(x) ð 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando




La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

Derivada de una diferencia de funciones

f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'

Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:

[- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)

En consecuencia,

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)